自由拓扑群的 $o$-有界性

假设不存在 $Q$-点（这与 ZFC 一致），我们证明：Tychonov 空间 $X$ 上的自由拓扑群 $F(X)$ 是 $o$-有界的，当且仅当 $X$ 的每一个连续可度量化像 $T$ 满足选择原理 $U_{fin}(O,\Omega)$（后者意味着：对于 $T$ 的每一列开覆盖 $<u_n>_{n\in w}$，存在一列 $<v_n>_{n\in w}$，使得 $v_n\in [u_n]^{<w}$，并且对于每个 $F\in [X]^{<w}$，存在 $n\in w$ 满足 $F\subset\cup v_n$）。这一刻画对 C. Hernandes、D. Robbie 和 M. Tkachenko 于 2000 年提出的一个问题给出了一致性回答。