关于自由仿拓扑群的拓扑学（II）

设$\FP(X)$为拓扑空间$X$上的自由仿拓扑群。对于$n\in \N$，记$\FP_n(X)$为$\FP(X)$中所有约化长度至多为$n$的词构成的子集，$i_n$为从$(X\oplus X^{-1}\oplus \{e\})^n$到$\FP_n(X)$的自然映射。本文找到了$\FP_2(X)$中单位元$e$的一个邻域基。随后给出了$i_2\colon (X\oplus X^{-1}_d\oplus \{e\})^2\to \FP_2(X)$为商映射的条件的一系列刻画，其中$X$是$T_1$空间，$X^{-1}_d$表示赋予离散拓扑的集合$X^{-1}$。在$X$是传递$T_1$空间的情形下给出了进一步的刻画。还考察了几个具体空间和空间类。例如，对于$\R$的每个可数子空间，$i_2$是商映射；对于$\R$的任意不可数紧子空间，$i_2$不是商映射；在ZFC中无法判定是否存在$\R$的不可数子空间使得$i_2$是商映射。