拓扑基本群与环耳环空间

拓扑基本群 $\pi_{1}^{top}$ 是一个拓扑不变量，它为每个空间赋予一个拟拓扑群，并且在局部性质良好的空间上是离散的。对于一个完全道路不连通、豪斯多夫、无基点的空间 $X$，我们计算了 $X$ 的“环耳环”空间（即 $X$ 的约化悬垂并添加一个不相交的基点）的拓扑基本群。我们通过将商映射 $\Omega(\Sigma X_{+},x)\to \pi_{1}^{top}(\Sigma X_{+},x)$ 分解为一个带有对合的自由拓扑幺半群 $M(X)$ 来实现，使得映射 $M(X)\shortrightarrow \pi_{1}^{top}(\Sigma X_{+},x)$ 也是一个商映射。$\pi_{1}^{top}(\Sigma X_{+},x)$ 是 T1 的，并且嵌入 $X\shortrightarrow \pi_{1}^{top}(\Sigma X_{+},x)$ 表明，当 $X$ 不是正则空间时，$\pi_{1}^{top}(\Sigma X_{+},x)$ 不是一个拓扑群。这些环耳环空间为“$\pi_{1}^{top}$ 是到拓扑群范畴的函子”这一论断提供了一类简单的反例。