拓扑基本群与自由拓扑群

拓扑基本群$\pi_{1}^{top}$是一个比通常基本群更精细的同伦不变量。它赋予每个空间一个拟拓扑群，并且在允许万有覆盖的空间上是离散的。对于任意空间$X$，我们计算了悬垂空间$\Sigma(X_+)$的拓扑基本群，并发现$\pi_{1}^{top}(\Sigma(X_+))$要么不是拓扑群，要么是$X$的道路分支空间上的自由拓扑群。利用这一计算，我们提供了大量反例来反驳所有拓扑基本群都是拓扑群这一论断。与自由拓扑群的关系使我们能够将刻画使得$\pi_{1}^{top}(\Sigma(X_+))$是Hausdorff拓扑群的Hausdorff空间$X$的问题归结为拓扑学中一些众所周知的分类问题。