关于具有商拓扑的基本群

拟拓扑基本群 $\pi_{1}^{qtop}(X,x_0)$ 是赋予了从基于环路空间继承的自然商拓扑的基本群，当 $X$ 不允许传统万有覆盖时，它通常是非离散的。这种拓扑化的基本群是同伦型的不变量，能够区分弱同伦等价空间和形状等价空间。在本文中，我们阐明了群 $\pi_{1}^{qtop}(X,x_0)$ 的拓扑性质与底层空间 $X$ 的性质（如'$\pi_{1}$-形状单射性'和‘同伦路径豪斯多夫性’）之间的各种关系。如果基本群规范地嵌入到第一形状群中，使得 $\pi_1(X,x_0)$ 的元素可以表示为逆极限中的序列，则称空间 $X$ 为 $\pi_1$-形状单射的。我们证明了一个局部路径连通的度量空间 $X$ 是 $\pi_1$-形状单射的，当且仅当 $\pi_{1}^{qtop}(X,x_0)$ 是不变分离的，即所有开不变（即正规）子群的交集是平凡子群。在 $X$ 不是 $\pi_1$-形状单射的情况下，同伦路径豪斯多夫性质有助于区分环路的同伦类，并保证某些广义覆盖映射的存在。我们证明了一个局部路径连通空间 $X$ 是同伦路径豪斯多夫的，当且仅当 $\pi_{1}^{qtop}(X,x_0)$ 满足 $T_1$ 分离公理。