论 Spanier 群以及覆盖空间与半覆盖空间

对于连通且局部道路连通的空间 $X$，设 $H$ 为 $X$ 的基本群 $\pi_1(X,x)$ 的一个子群。我们证明，存在 $X$ 的一个开覆盖 $\cal U$，使得 $H$ 包含 Spanier 群 $\pi({\U},x)$，当且仅当 $H$ 在准拓扑基本群 $\pi_1^{qtop}(X,x)$ 中的核是开的，或者等价地，其在拓扑基本群 $\pi_1^{\tau}(X,x)$ 中是开的。作为推论，利用 Spanier 群与覆盖空间之间的关系，我们基于 $\pi_1^{qtop}(X,x)$ 中具有开核的子群的共轭类，给出了 $X$ 的连通覆盖空间的分类。最后，我们给出了半覆盖存在的一个充要条件。此外，我们还提出了一个条件，在该条件下 $X$ 的每个半覆盖都是覆盖。