提升空间的一般理论

Edwin Spanier 在其经典代数拓扑教材中于更一般的提升空间（即具有唯一道路提升性质的 Hurewicz 纤维化）框架下发展了覆叠空间理论。除其他外，Spanier 证明了每个空间 $X$ 存在泛提升空间，然而除非底空间 $X$ 是半局部单连通的，否则它未必是单连通的。关于泛空间的基本群究竟是什么这一问题未被解答。提升空间的主要来源是 $X$ 上覆叠空间的反极限，或更一般地，在某些收敛于 $X$ 的空间反系统上的反极限。每个度量空间 $X$ 都可作为一个多面体反系统的极限获得，因此该系统上覆叠空间的反极限给出 $X$ 上的提升空间。它们与 $X$ 的几何（特别是基本群）的关联方式，类似于多面体上覆叠空间与其底空间基本群的关联方式。因而提升空间作为具有不良局部性质的底空间上覆叠空间概念的自然替代而出现。本文发展提升空间的一般理论，并证明它们在乘积、反极限及其他重要构造下得以保持。我们证明从 $X$ 到多面体的映射产生 $X$ 上的覆叠，并由此证明对于连通、局部道路连通且仿紧的 $X$，上述 Spanier 泛空间的基本群恰为与 $X$ 的开覆盖相关的所有 Spanier 群的交，且后者与 $X$ 的形状核一致。此外，我们更详细地考察了作为 $X$ 某些逼近上覆叠的反极限而出现的 $X$ 上提升空间。