自由仿拓扑群上的映射 $i_{2}$

设 $FP(X)$ 为拓扑空间 $X$ 上的自由仿拓扑群。对于每个非负整数 $n\in\mathbb{N}$，用 $FP_{n}(X)$ 表示 $FP(X)$ 中由所有简化长度至多为 $n$ 的词组成的子集，并用 $i_{n}$ 表示从 $(X\bigoplus X^{-1}\bigoplus\{e\})^{n}$ 到 $FP_{n}(X)$ 的自然映射。本文主要改进了 A.S. Elfard 和 P. Nickolas 的某些结果 [On the topology of free paratopological groups. II, Topology Appl., 160(2013), 220--229.]。主要结果是：自然映射 $i_{2}: (X\bigoplus X_{d}^{-1}\bigoplus\{e\})^{2}\longrightarrow FP_{2}(X)$ 是闭映射，当且仅当 $X_{d}\times X$ 中对角线 $\Delta_{1}$ 的每个邻域 $U$ 都是 $X$ 上最细拟一致性的成员，其中 $X$ 是 $T_{1}$-空间，$X_{d}$ 表示装备了离散拓扑以替代其给定拓扑的 $X$。