自由熵中的秩定理与$L^2$-不变量：全局上界

利用与微分几何中秩定理的类比，我们证明了对于迹von Neumann代数中的有限$n$-元组$X$以及$n$个非交换不定元的有限$m$-元组$*$-多项式$F$，有\n\begin{eqnarray*}\n\delta_0(X) & \leq & \text{Nullity}(D^sF(X)) + \delta_0(F(X):X)\n\end{eqnarray*}\n其中$\delta_0$为（修正的）微观态自由熵维数，$D^sF(X)$为$F$在$X$处的一种导数。当$F(X)=0$且$|D^sF(X)|$具有非零的Fuglede-Kadison-Lück行列式时，则$X$是$\alpha$-有界的，其中$\alpha = \text{Nullity}(D^sF(X))$。利用Linnell的$L^2$整域结果以及Elek和Szabó关于sofic群的Lück行列式猜想的工作，我们证明了以下结果。设$\Gamma$是一个具有两个生成元的sofic、左序、离散群且$\Gamma \neq \{0\}$。以下条件等价：(1) $\Gamma \not\simeq \mathbb F_2$。(2) $L(\Gamma) \not\simeq L(\mathbb F_2)$。(3) $L(\Gamma)$是强1-有界的。(4) 对于$L(\Gamma)$的任意有限生成集$X$，$\delta_0(X) = 1$。根据Brodskiĭ和Howie关于局部可表性的结果，可知具有两个生成元且具有非平凡关系的sofic、无挠、一关系群von Neumann代数是强1-有界的。由正一关系群的剩余可解性（\cite{baum}）可知，具有两个生成元且关系为生成元中非平凡、正、非恰当词的von Neumann代数是强1-有界的。