无穷体积与谱底端的原子

设 $G$ 为高秩简单实代数群，或更一般地，任意无秩一因子的半单实代数群，$X$ 为相应的黎曼对称空间。对于任意 Zariski 稠密离散子群 $\Gamma<G$，我们证明 $\operatorname{Vol}(\Gamma\backslash X)=\infty$ 当且仅当没有正的 Laplace 本征函数属于 $L^2(\Gamma\backslash X)$，或者等价地，$L^2$-谱的底端不是负拉普拉斯算子的谱测度的原子。这与秩一情形形成对比，在秩一情形中基本征函数的平方可积性由临界指数相对于 $X$ 的体积熵的大小决定。