II$_1$ 因子的无界导子、自由膨胀与不可分解性结果

我们给出了充分条件，即通过存在满足特定性质的无界导子，以确保 II$_1$ 因子 $M$ 是素因子或至多拥有一个 Cartan 子代数。例如，我们证明了若存在一个实闭包无界稠定导子 $\delta:M\rightarrow L^2(M)\bar{\otimes}L^2(M)$，其定义域包含一个非 amenability 集，则 $M$ 是素因子。若 $\delta$ 此外还是“代数的”（即其定义域 $M_0$ 是有限生成的，$\delta(M_0)\subset M_0\otimes M_0$ 且 $\delta^*(1\otimes 1)\in M_0$），则我们表明 $M$ 没有 Cartan 子代数。我们还给出了若干应用于自由概率论实例的结果。最后，我们提供了一类可数群 $\Gamma$，该类群通过存在一个无界上循环 $b:\Gamma\rightarrow \mathbb C(\Gamma/\Lambda)$ 来定义（对于某个子群 $\Lambda<\Gamma$），使得对于任何自由遍历保概率测度 (pmp) 作用 $\Gamma\curvearrowright (X,\mu)$，II$_1$ 因子 $L^{\infty}(X)\rtimes\Gamma$ 具有唯一的 Cartan 子代数（相差一个酉共轭）。