论不可约子因子的通有性

我们证明，有限生成的不可约 $\mathrm{II}_1$ 子因子在下述意义下是通有的。给定一个可分 $\mathrm{II}_1$ 因子 $M$ 和一个整数 $n\geq 2$，在 $M$ 中范数至多为 $1$ 的自伴算子 $n$ 元组的集合上赋予度量 $d(x,y) = \max_{1\leq i \leq n} \|x_i - y_i\|_2$。则生成 $M$ 的不可约子因子的 $n$ 元组集合在此度量空间中构成一个稠密的 $G_\delta$ 集。在证明该结果的途径中，我们证明了可闭导数在其核所关联的反粗空间上消失，这带来了共轭系统在自由概率论中的新应用。