II$_1$ 因子的阶乘相对交换子与广义 Jung 性质

我们引入广义 Jung 因子的概念：一个 II$_1$ 因子 $M$，使得 $M$ 到其超幂 $M^{\mathcal U}$ 的任意两个嵌入均可通过 $M^{\mathcal U}$ 的一个自同构等价。我们证明 $\mathcal R$ 不是唯一的广义 Jung 因子，但却是唯一的 $\mathcal R^{\mathcal U}$-可嵌入广义 Jung 因子。我们使用模型论技术获得这些结果。所用技术的核心结果是：若 $M$ 与 $\mathcal R$ 初等等价，则 $M$ 到 $\mathcal R^{\mathcal U}$ 的任意初等嵌入具有阶乘相对交换子。这回答了 Popa 关于不可数族 II$_1$ 因子的一个长期问题。我们还给出了关于超 McDuff 性这一概念的新的例子与结果，它是 II$_1$ 因子 McDuff 性质的强化。