关于由 w-刚性群的 2-上循环产生的 II$_1$ 因子

我们考虑由包含具有相对性质 (T) 的无限正规子群 $H \subset G$ 的群 $G$ 上的 2-上循环 $\mu \in \text{\rm H}^2(G,\Bbb T)$ 产生的 II$_1$ 因子 $L_\mu(G)$（即 $G$ 是 {\it w-刚性} 的）。我们证明，给定任何可分的 II$_1$ 因子 $M$，具有性质 $L_\mu(G)$ 可嵌入 $M$ 的 2-上循环 $\mu_{|H}\in \text{\rm H}^2(H,\Bbb T)$ 的集合至多可数。我们利用这个结果、$\Bbb Z^2 \subset \Bbb Z^2 \rtimes \Gamma$（对于非顺从的 $\Gamma \subset SL(2,\Bbb Z)$）的相对性质 (T)，以及每个上循环 $\mu_\alpha \in {\text{\rm H}}^2(\Bbb Z^2,\Bbb T)\simeq \Bbb T$ 都扩展到 $\Bbb Z^2 \rtimes SL(2,\Bbb Z)$ 上的上循环这一事实，证明一族单参数 II$_1$ 因子 $M_\alpha(\Gamma)=L_{\mu_{\alpha}}(\Bbb Z^2 \rtimes \Gamma)$，$\alpha \in \Bbb T$，在模可数集意义下是两两不同构的，并且不能全部嵌入到同一个可分 II$_1$ 因子中。还讨论了其他例子和应用。