具有指定可数基本群的 ${\rm II_1}$ 型因子的构造

在自由概率论的背景下，我们研究了两种不同的构造方法，它们提供了具有指定基本群的 ${\rm II_1}$ 型因子的新例子。首先，我们研究了在几乎周期自由 Araki-Woods 因子上保持状态的群作用，这些作用同时满足混合条件和 Popa 意义上的自由可塑性条件。典型的例子由自由 Bogoliubov 移位给出。取一个 ICC $w$-刚性群 $G$ 使得 $\mathcal{F}(L(G)) = \{1\}$（例如 $G = \Z^2 \rtimes \SL(2, \Z)$）。对于任何可数子群 $S \subset \R^*_+$，我们证明存在 $G$ 在 $L(\F_\infty)$ 上的一个作用，使得 $L(\F_\infty) \rtimes G$ 是一个 ${\rm II_1}$ 型因子，且其基本群为 $S$。第二种构造基于自由积。取 $(B(H), \psi)$ 为任何配备忠实正规状态的 ${\rm I}$ 型因子，并记 $\Gamma \subset \R^*_+$ 为由 $\psi$ 的点谱生成的子群。我们证明中心化子 $(L(G) \ast B(H))^{\tau \ast \psi}$ 是一个 ${\rm II_1}$ 型因子，且其基本群为 $\Gamma$。我们的证明依赖于 Popa 的形变/刚性策略，并使用了他的双模交织技术。