一类具有唯一 McDuff 分解的 II$_1$ 因子

我们给出相当大的一类 II$_1$ 因子 $N$,使得 $M=N\bar{\otimes}R$ 具有唯一的 McDuff 分解(在同构意义下),其中 $R$ 表示超有限 II$_1$ 因子。该类包含所有的 II$_1$ 因子 $N=L^{\infty}(X)\rtimes\Gamma$,它们联系于自由遍历保概率测度(保 p.m.p.)作用 $\Gamma\curvearrowright (X,\mu)$,且满足以下任一条件:(a) $\Gamma$ 是自由群 $\mathbb F_n$,其中某个 $n\geq 2$;或 (b) $\Gamma$ 是非内禀顺从群,且作用 $\Gamma\curvearrowright (X,\mu)$ 的轨道等价关系满足 \cite{JS85} 中引入的一个性质。另一方面,我们解决了 Jones 与 Schmidt 于 1985 年提出的一个问题,给出了首批不满足 \cite{JS85} 中性质的 countable 遍历 p.m.p. 等价关系的例子。我们还证明:若 $\mathcal R$ 是一个 countable 强遍历 p.m.p. 等价关系,且 $\mathcal T$ 是一个超有限遍历 p.m.p. 等价关系,则 $\mathcal R\times\mathcal T$ 具有唯一的稳定分解(在同构意义下)。最后,我们给出了 II$_1$ 因子的 Gamma 性质以及 countable p.m.p. 等价关系的强遍历性的新刻画。