II$_1$ 因子嵌入的 W*-刚性范式

我们对可分离 II$_1$ 因子之间的可嵌入关系 $\hookrightarrow$ 及其稳定版本 $\hookrightarrow_s$ 的 W*-刚性范式进行了系统研究，得到了大量相互可嵌入但彼此不稳定同构的 II$_1$ 因子族，以及相互不稳定不可嵌入的 II$_1$ 因子族。我们给出一个从群范畴到 icc 群范畴的增广函子 $G \mapsto H_G$，使得 $L(H_{G_1}) \hookrightarrow_s L(H_{G_2})$ 当且仅当 $G_1 \hookrightarrow G_2$。我们构造了 II$_1$ 因子的完全区间，包括一条 II$_1$ 因子的严格链 $(M_k)_{k\in \mathbb{Z}}$，其性质为：若 $N$ 是任意满足 $M_i \hookrightarrow_s N$ 且 $N \hookrightarrow_s M_{j}$ 的 II$_1$ 因子，则存在某个 $i \leq k \leq j$ 与 $t > 0$ 使得 $N \cong M_k^t$。