II$_1$ 因子中的可压缩子代数

给定 II$_1$ 因子 $M$，若对任意 $\varepsilon>0$，存在一组有限单元元素单元阵 $\mathcal{U}_0\subset \mathcal{U}(M)$，使得 $\|\frac{1}{|\mathcal{U}_0|}\sum_{u\in\mathcal{U}_0} uxu^* - E_{1\otimes \mathbb{M}_K(\mathbb{C})}(x)\|\leq \varepsilon$，对所有 $K\geq 1$ 和所有 $x\in (Q\otimes \mathbb{M}_K(\mathbb{C}))_1$，则称 $M$ 中嵌入的 W$^*$-子代数 $Q$ 为{\it 可压缩}。若 $M$ 中的 $W^*$-子代数 $Q$ 嵌入一个与 $Q$ 独立且扩散的 $W^*$-子代数 $Q_0$，则 $Q$ 在 $M$ 中可压缩。我们证明若 $Q\subset M$ 可压缩，则 $_NL^2M_Q$ 中包含任意 AFD 子代数 $N\subset M$ 的粗糙 $N-Q$ 双模的复制。我们利用该结果给出若干 $M\subset\mathcal{M}$ 的包含实例，这些包含即使在 $\mathcal{B}(\ell^2\mathbb{N})$ 稳定后仍是ergodic但非AFD-ergodic的。