II$_1$因子的粗分解

我们证明任意可分离 II$_1$ 因子 $M$ 在超有限 II$_1$ 因子 $R$ 上容许一个{\it 粗分解}，即存在嵌入 $R\hookrightarrow M$ 使得 $L^2M\ominus L^2R$ 是粗 Hilbert $R$-双模 $L^2R \overline{\otimes} L^2R^{op}$ 的倍数（等价地，由 $R$ 在 $L^2M\ominus L^2R$ 上的左乘和右乘生成的冯·诺依曼代数同构于 $R\overline{\otimes}R^{op}$）。此外，若 $Q\subset M$ 是无限指标不可约子因子，则可构造 $R\hookrightarrow M$ 使其同时也关于 $Q$ 是粗的。该结果意味着在任何可分离 II$_1$ 因子中存在混合的、强非正规的且具有无限重数的 MASA。