关于 Murray--von Neumann 代数上导子的注记

设 $\mathcal{M}$ 为一个 II$_1$ 型冯·诺依曼因子，并设 $S(\mathcal{M})$ 为隶属于 $\mathcal{M}$ 的所有可测算子构成的关联 Murray-von Neumann 代数。我们推广了 Kadison 与 Liu \cite{KL} 的一个结果，证明从 $S(\mathcal{M})$ 到 $\mathcal{M}$-双模 $\mathcal{B}\subsetneq S(\mathcal{M})$ 的任意导子都是平凡的。在特殊情形中，当 $\mathcal{M}$ 为超有限 II$_1-$因子 $\mathcal{R}$ 时，我们引入代数 $AD(\mathcal{R})$——即 $[0,1]$ 上所有几乎处处近似可微函数代数的非交换类比——并证明它是 $S(\mathcal{R})$ 的一个真子代数。该代数严格大于 von Neumann 引入的相应连续几何环。进一步，我们确立 $[0,1]$ 上 Lebesgue 可测函数（的类）上的经典近似导数可扩展为一个从 $AD(\mathcal{R})$ 到 $S(\mathcal{R})$ 的导子，且该导子不是空间的。最后，我们证明对于超有限 II$_1-$因子 $\mathcal{R}$ 中的 Cartan masa $\mathcal{A}$，存在一个从 $\mathcal{A}$ 到 $S(\mathcal{A})$ 的导子 $\delta$，它不能延拓为从 $\mathcal{R}$ 到 $S(\mathcal{R})$ 的导子。