II$_1$ 因子中最大可渲扩展的单纯形

对于每一个 $n \in \mathbb{N}$，我们得到一个可分离的 II$_1$ 因子 $M$ 和一个最大可渲子代数 $A \subset M$，使得最大可渲扩展的空间在 $M$ 中可仿射地识别为 $n$ 维 $\mathbb{R}$-单纯形。这还首次给出 II$_1$ 因子中 admitting exactly $n$ 个最大可渲阶乘扩展的 masa 实例。我们的此类 $M$ 是由 lamplighter 群的自由积在作用群上嵌合而成的群 von Neumann 代数。获取此结果的一个关键概念是同时相对渲正交性质，这扩展了文献中先前的工作。证明使用包括我们在 II$_1$ 因子的超乘积中对 commutants 的统一压平策略等技术工具。