因子中不可约算子的乘积

设 $\mathcal M$ 为一个可分因子。若算子 $T\in\mathcal{M}$ 满足其生成的冯·诺依曼代数 $W^*(T)$ 是 $\mathcal{M}$ 的不可约子因子，即 $W^*(T)'\cap\mathcal{M}=\mathbb{C}I$，则称 $T$ 在 $\mathcal{M}$ 中不可约。本文证明：对于任意可分因子 $\mathcal{M}$，其中每个算子均可表示为两个不可约算子的乘积，唯一的例外是 $n\geqslant 1$ 时 $I_{2n+1}$ 型因子中的零算子。这可视为 Radjavi 结果的乘法类比——该结果断言可分希尔伯特空间上的每个算子均可表示为两个不可约算子的和。