将二次算子分解为两个正压缩算子的乘积

设 $T$ 为复 Hilbert 空间 $H$ 上的二次算子。我们证明，$T$ 可写为两个正压缩算子的乘积，当且仅当 $T$ 具有如下形式：$$aI \oplus bI \oplus\begin{pmatrix} aI & P \cr 0 & bI \cr \end{pmatrix} \quad \text{on} \quad H_1\oplus H_2\oplus (H_3\oplus H_3)$$ 其中 $a, b\in [0,1]$，且 $P$ 为满足 $\|P\| \le |\sqrt{a} - \sqrt{b}|\sqrt{(1-a)(1-b)}$ 的严格正算子。此外，对于 $H\oplus K$ 上具有算子矩阵 $\begin{pmatrix} T_1 & T_3\ 0 & T_2\cr\end{pmatrix}$ 的有界线性算子 $T$，若其可写为两个正压缩算子的乘积，我们给出了一个必要条件。