左极类算子的张量积

Banach 空间算子 $T\in B(X)$ 称为左极类的，若对每个 $\lambda\in\hbox{iso}\sigma_a(T)$，存在整数 $d(\lambda)$ 使得 asc $(T-\lambda)=d(\lambda)<\infty$ 且 $(T-\lambda)^{d(\lambda)+1}X$ 是闭的；$T$ 称为有限左极类的，若在每个 $\lambda\in\hbox{iso }\sigma_a(T)$ 处有 asc $(T-\lambda)<\infty$，$(T-\lambda)X$ 是闭的且 $\dim(T-\lambda)^{-1}(0)<\infty$。左极类性质从 $A$ 和 $B$ 传递到它们的张量积 $A\otimes B$，因而对于 Hilbert 空间算子，也从 $A$ 和 $B^*$ 传递到左右乘算子 $\tau_{AB}$；对于 Banach 空间算子则需要一个附加条件。有限左极类性质从 $A$ 和 $B$ 传递到它们的张量积 $A\otimes B$ 当且仅当 $0\not\in\hbox{iso}\sigma_a(A\otimes B)$；对于有限左极类的 $A$ 和 $B^*$，类似的结果对 $\tau_{AB}$ 成立。