上三角算子矩阵、SVEP 与 Browder-Weyl 定理

如果点 $\lambda\in\iso\sigma\sigma(T)$ 是 $T$ 的预解式的极点，则 Banach 空间算子 $T\in B({\cal X})$ 是 polaroid 的。设 $\sigma_a(T)$、$\sigma_w(T)$、$\sigma_{aw}(T)$、$\sigma_{SF_+}(T)$ 和 $\sigma_{SF_-}(T)$ 分别表示 $T$ 的近似点谱、Weyl 谱、Weyl 本质近似谱、上半 Fredholm 谱和下半 Fredholm 谱。对于 $A$、$B$ 和 $C\in B({\cal X})$，设 $M_C$ 表示算子矩阵 (A & C 0 & B)。如果 $A$ 在 $\pi_0(M_C)=\{\lambda\in\iso\sigma(M_C) 0<\dim(M_C-\lambda)^{-1}(0)<\infty\}$ 上是 polaroid 的，$M_0$ 满足 Weyl 定理，且 $A$ 和 $B$ 满足以下假设之一： $A$ 在点 $\lambda\in\sigma_w(M_0)\setminus\sigma_{SF_+}(A)$ 处具有 SVEP，且 $B$ 在点 $\mu\in\sigma_w(M_0)\setminus\sigma_{SF_-}(B)$ 处具有 SVEP；或， $A$ 和 $A^*$ 均在点 $\lambda\in\sigma_w(M_0)\setminus\sigma_{SF_+}(A)$ 处具有 SVEP；或， $A^*$ 在点 $\lambda\in\sigma_w(M_0)\setminus\sigma_{SF_+}(A)$ 处具有 SVEP，且 $B^*$ 在点 $\mu\in\sigma_w(M_0)\setminus\sigma_{SF_-}(B)$ 处具有 SVEP，则 $\sigma(M_C)\setminus\sigma_w(M_C)=\pi_0(M_C)$。此处，$\lambda\in\pi_0(M_C)$ 为 $A$ 的预解式的极点这一假设不能被 $\lambda\in\pi_0(A)$ 为 $A$ 的预解式的极点这一假设所替代。对于算子 $T\in B(\X)$，设 $\pi_0^a(T)=\{\lambda:\lambda\in\iso\sigma_a(T), 0<\dim(T-\lambda)^{-1}(0)<\infty\}$。我们证明，如果 $A^*$ 和 $B^*$ 具有 SVEP，$A$ 在 $\pi_0^a(\M)$ 上是 polaroid 的且 $B$ 在 $\pi_0^a(B)$ 上是 polaroid 的，则 $\sigma_a(\M)\setminus\sigma_{aw}(\M)=\pi_0^a(\M)$。