幂有界算子的谱分解:有限谱情形

本文研究Banach空间上的幂有界算子,包括满射等距同构。Koehler与Rosenthal曾断言:Banach空间上满射等距同构谱中的孤立点必属于点谱,且相应的特征空间具有不变补空间。然而,他们并未给出该断言的详细证明,至少在本文作者的理解中如此。本文借助Gelfand定理与Riesz投影的应用,证明了Koehler–Rosenthal定理对Banach空间上任意幂有界算子均成立。这不仅为该定理提供了详细证明,也略微推广了其适用范围。由此我们建立如下结论:若 $T: X \to X$ 是Banach空间 $X$ 上的幂有界算子,且其谱由有限个点 ${\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m}$ 组成,则对任意 $1 \leq i, j \leq m$,存在 $X$ 上的投影 $P_j$ 使得 $P_iP_j=\delta_{ij}P_i$,$\sum_{j=1}^mP_j=I$,且 $T=\Sigma_{j=1}^m \lambda_j P_j$。由此可知,这样的算子 $T$ 是一个代数算子。