闭算子谱的 Borel 结构

设 $T$ 是 Banach 空间中的线性算子，令 $\sigma_p(T)$ 表示 $T$ 的点谱，对有限 $n > 0$，$\sigma_{p[n]}(T)$ 为所有满足 $\dim \ker (T - \lambda) = n$ 的 $\lambda \in \sigma_p(T)$ 的集合，$\sigma_{p[\infty]}(T)$ 为所有使得 $\ker (T - \lambda)$ 为无穷维的 $\lambda \in \sigma_p(T)$ 的集合。本文证明：若 $T$ 是可闭的且 $T$ 的定义域是可分的且弱 $\sigma$-紧，则 $\sigma_p(T)$ 是 $\mathcal{F}_{\sigma}$ 集，$\sigma_{p[\infty]}(T)$ 是 $\mathcal{F}_{\sigma\delta}$ 集，且对每个有限 $n$，集合 $\sigma_{p[n]}(T)$ 是一个 $\mathcal{F}_{\sigma}$ 集与一个 $\mathcal{G}_{\delta}$ 集的交。对于可分 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$ 上的闭稠定算子，给出了谱的更详细分解，并将 $\mathcal{H}$ 上所有有界线性算子的代数分解为 Borel 部分。特别地，证明了 $\mathcal{H}$ 上所有闭值域算子的集合是 Borel 集。