由旋转诱导的$\Hol(\D)$上加权复合算子的谱性质

本文研究了由旋转诱导的$\Hol(\D)$上加权复合算子$T$的谱$\sigma(T)$与Waelbroeck谱$\sigma_W(T)$，其定义为$$Tf(z)=m(z)f(\beta z) \ \ \ (z\in \D)$$其中$m\in \Hol(\D)$，$\beta\in \C$，$|\beta | = 1$。若对所有$n\in \N$有$\beta^n\neq 1$，我们证明：若存在某$z_0\in \D$使$m(z_0)=0$，则$\sigma_W(T)$为一个圆盘；若对所有$z\in \D$有$m(z)\neq 0$，则其为圆周$\{\lambda\in \C : |\lambda |=|m(0)|\}$。我们找到了$m\in A(\D)$（圆盘代数）的实例，使得$\lambda\Id-T$在$\Hol(\D)$（\D上所有全纯函数构成的Fr\'echet空间）中可逆，但$(\lambda\Id-T)^{-1}A(\D)\not\subset A(\D)$。受Bonet \cite{Bonet}启发，我们证明了当权函数为$m\equiv 1$且$\beta$为丢番图数时，$\{\beta^n : n\in \N\}\subset \sigma(T)\neq \T$。这表明谱一般而言并不闭。