谱半径、数值半径与算子乘积

设 $\sigma(A)$、$\rho(A)$ 和 $r(A)$ 分别表示 Hilbert 空间 $H$ 上有界线性算子 $A$ 的谱、谱半径和数值半径。我们证明：一个线性算子 $A$ 满足 $$\rho(AB)\le r(A)r(B) \quad\text{ 对所有有界线性算子 } B$$ 当且仅当存在唯一的 $\mu \in \sigma (A)$ 使得 $|\mu| = \rho(A)$，且 $A = \frac{\mu(I + L)}{2}$，其中 $L$ 为压缩算子并满足 $1\in\sigma(L)$。若 $\rho(AB) \le r(A)r(B)$ 对所有秩一算子 $B$ 成立，亦可得到关于 $A$ 的相同结论。若 $H$ 为有限维，则在适当选取正交基下，可进一步将 $L$ 分解为 $C \oplus 0$ 的直和，使得对所有单位向量 $x$ 均有 $Re(C^{-1}x,x) \ge 1$。