2×2 算子矩阵的数值半径不等式

本文给出了 2×2 算子矩阵数值半径的若干上界与下界，这些界改进并推广了先前的相关估计。特别地，我们证明：若 B、C 是复 Hilbert 空间上的有界线性算子，则\n\begin{eqnarray*} && \frac{1}{2}\max \left \{ \|B\|, \|C\| \right \}+\frac{1}{4} \left | \|B+C^*\|-\|B-C^*\| \right | &&\leq w \left(\left[\begin{array}{cc} 0 & B C& 0 \end{array}\right]\right)\\ &&\leq \frac{1}{2} \max \left\{\|B\|,\|C\|\right \}+\frac{1}{2}\max \left \{r^{\frac{1}{2}}(|B||C^*|),r^{\frac{1}{2}}(|B^*||C|)\right\}, \end{eqnarray*}\n其中 w(.)、r(.) 与 \|.\| 分别是有界线性算子的数值半径、谱半径与算子范数。我们还得到了算子矩阵 \left[\begin{array}{cc} 0 & B C& 0 \end{array}\right] 数值半径的等号成立条件。作为所得结果的应用，我们证明：若 B、C 是自伴算子，则 \max \Big \{\|B+C\|^2 , \|B-C\|^2 \Big\}\leq \left \|B^2+C^2 \right \|+2w(|B||C|)。