数值半径不等式的改进

我们给出了 $2\times 2$ 非对角算子矩阵数值半径的上界与下界,推广并改进了已有结果。我们还证明:若 $A$ 是复 Hilbert 空间上的有界线性算子,且 $|A|$ 表示 $A$ 的正平方根,即 $|A|=(A^*A)^{1/2}$,则对所有 $r\geq 1$,有 $w^{2r}(A) \leq \frac{1}{4} \big \| |A|^{2r}+|A^*|^{2r} \big \| + \frac{1}{2} \min\left\{ \big \|\Re\big(|A|^r\, |A^*|^r \big) \big \|, w^r(A^2) \right\}$,其中 $w(A)$、$\|A\|$ 和 $\Re(A)$ 分别表示 $A$ 的数值半径、算子范数和实部。该式(取 $r=1$ 时)改进了已有的著名数值半径不等式。