数值半径不等式的发展及其等号条件的刻画

设 $A$ 为复 Hilbert 空间上的有界线性算子，$\Re(A)$（$\Im(A)$）表示 $A$ 的实部（虚部）。在 $A$ 的数值半径下界的其他改进中，我们证明\n\begin{eqnarray*} w(A)&\geq &\frac{1}{2} \left \|A \right\| + \frac{ 1}{2} \mid \|\Re(A)\|-\|\Im(A)\|\mid,\,\,\mbox{and}\\ w^2(A)&\geq& \frac{1}{4} \left \|A^*A+AA^* \right\| + \frac{1}{2}\mid \|\Re(A)\|^2-\|\Im(A)\|^2 \mid, \end{eqnarray*}\n其中 $w(A)$ 为算子 $A$ 的数值半径。我们研究了 $w(A)=\frac{1}{2}\sqrt{\|A^*A+AA^*\|}$ 的等号条件，并证明 $w(A)=\frac{1}{2}\sqrt{\|A^*A+AA^*\|}$ 当且仅当 $A$ 的数值域是以原点为中心、半径为 $\frac{1}{2}\sqrt{\|A^*A+AA^*\|}$ 的圆形盘。我们还得到了算子交换子数值半径的上界，改进了现有结果。