范数与数值半径不等式的改进

给出了复 Hilbert 空间上有界线性算子的范数与数值半径不等式的若干改进。特别地，我们证明若 $A$ 是复 Hilbert 空间上的有界线性算子，则 $$\frac{1}{4}\|A^*A+AA^*\| \leq \frac{1}{8}\bigg( \|A+A^*\|^2+\|A-A^*\|^2 +c^2(A+A^*)+c^2(A-A^*)\bigg) \leq w^2(A)$$ 且 \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\|A^*A+AA^*\| - \frac{1}{4}\bigg\|(A+A^*)^2 (A-A^*)^2 \bigg\|^{1/2} \leq w^2(A) \leq \frac{1}{2}\|A^*A+AA^*\|, \end{eqnarray*} 其中 $\|.\|$、$w(.)$ 和 $c(.)$ 分别为算子范数、数值半径和 Crawford 数。进一步，我们证明若 $A,D$ 是复 Hilbert 空间上的有界线性算子，则 \begin{eqnarray*} \|AD^*\| \leq \left\| \int_0^1 \left( (1-t) \left(\frac{ |A|^2+|D|^2}{2}\right) +t\|AD^*\|I \right)^2dt \right\|^{1/2} \leq \frac{1}{2}\left\| |A|^2+|D|^2 \right\|, \end{eqnarray*} 其中 $|A|=(A^*A)^{1/2}$ 且 $|D|=(D^*D)^{1/2}$。这是对 Bhatia 和 Kittaneh 所得的著名不等式的改进。