n×n 算子矩阵数值半径的更紧界

设 $A=\begin{bmatrix} A_{ij} \end{bmatrix}$ 为一个 $n\times n$ 算子矩阵，其中每个 $A_{ij}$ 是复 Hilbert 空间上的有界线性算子。在其他数值半径界之外，我们证明 $w(A)\leq w(\hat{A})$，其中 $\hat{A}=\begin{bmatrix} \hat{a}_{ij} \end{bmatrix}$ 是一个 $n\times n$ 复矩阵，满足 $$\hat{a}_{ij}= \begin{cases} w(A_{ii}) \text{ 当 $i=j$ 时，} \left\| | A_{ij}|+ | A_{ji}^*| \right\|^{1/2} \left\| | A_{ji}|+ | A_{ij}^*| \right\|^{1/2} \text{ 当 $i<j$ 时，} 0 \text{ 当 $i>j$ 时} . \end{cases}$$ 这是对现有界 $w(A)\leq w(\tilde{A})$ 的显著改进，其中 $\tilde{A}=\begin{bmatrix} \tilde{a}_{ij} \end{bmatrix}$ 是一个 $n\times n$ 复矩阵，满足 $$\tilde{a}_{ij}= \begin{cases} w(A_{ii}) \text{ 当 $i=j$ 时}, \|A_{ij}\| \text{ 当 $i\neq j$ 时}. \end{cases}$$ 此外，应用这些界，我们给出了两个算子乘积与算子交换子的数值半径界。同时，我们给出了 $n$ 对算子乘积之和的谱半径的上界，改进了现有界。