谱半径、数值半径与Berezin半径不等式的加强

设 $\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2, \ldots, \mathcal{H}_n$ 为任意复Hilbert空间，${\bf A}=[A_{ij}]$ 为一个 $n\times n$ 算子矩阵，其中 $A_{ij}\in \mathcal{B}(\mathcal{H}_j, \mathcal{H}_i)。$ 我们证明了 $w({\bf A}) \leq w\left(\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix}_{i,j=1}^n \right)，$ 其中 $w(\cdot)$ 表示数值半径，其元素 $$a_{ij}=\begin{cases} w(A_{ii}) & \textit{若 $i=j$}, \sqrt{ \left( \|A_{ij}\|+\|A_{ji}\| \right)^2- \left(\|A_{ij}\| \|A_{ji}\|-w(A_{ji}A_{ij}) \right)}^{} & \textit{若 $i<j$}, 0 & \textit{若 $i>j$}. \end{cases}$$ 该界改进了 $w({\bf A}) \leq w\left(\begin{bmatrix} a'_{ij} \end{bmatrix}_{i,j=1}^n \right)，$ 其中当 $i=j$ 时 $a'_{ij}=w(A_{ii})$，当 $i\neq j$ 时 $a'_{ij}=\|A_{ij}\|$。我们推导了Kronecker积 $A\otimes B$ 的上界，其中 $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ 且 $B\in \mathcal{B}(\mathcal{H}_1)，$ 该界改进了Holbrook的经典界 $w(A\otimes B)\leq w(A)\|B\|$，当 $A$ 的所有元素均为非负时。进一步地，我们获得了元素为再生核Hilbert空间算子的 $n\times n$ 算子矩阵的Berezin半径不等式。我们提供了一个例子，说明这些不等式对Hardy--Hilbert空间上某些具体算子的适用性。应用数值半径界，我们证明了若 $A_i \in \mathcal{B}(\mathcal{H}_i, \mathcal{H}_1)$ 且 $B_i\in \mathcal{B}(\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_i)$ 对 $i=1,2$ 成立，则 \begin{eqnarray*} r(A_1B_1+A_2B_2) \leq \frac{ 1 }{2 } \left(w(B_1A_1)+w(B_2A_2) \right) + \frac{ 1 }{2 } \sqrt{ \left(w(B_1A_1)-w(B_2A_2)\right)^2 + 3\|B_1A_2\|\|B_2A_1\| + \eta}, \end{eqnarray*} 其中 $\eta=w(B_2A_1 B_1A_2)$，且 $r(\cdot)$ 表示谱半径。我们还获得了代数方程根的一个界。