A-数值半径与半希尔伯特空间算子的乘积

设 $A$ 为希尔伯特空间 $\big(\mathcal{H}, \langle \cdot, \cdot\rangle \big)$ 上的正有界算子。半内积 ${\langle x, y\rangle}_A := \langle Ax, y\rangle$（其中 $x, y\in\mathcal{H}$）在 $\mathcal{H}$ 上诱导出半范数 ${\|\cdot\|}_A$。令 $w_A(T)$ 表示半希尔伯特空间 $\big(\mathcal{H}, {\|\cdot\|}_A\big)$ 中算子 $T$ 的 $A$-数值半径。本文中，对任意半希尔伯特空间算子 $T$ 和 $S$，我们证明：对所有（$A$-秩一）半希尔伯特空间算子 $R$ 均有 $w_A(TR) = w_A(SR)$，当且仅当存在某个复单位 $\lambda$ 使得 $A^{1/2}T = \lambda A^{1/2}S$。由该结果我们导出若干推论。