半希尔伯特空间算子中 Birkhoff–James 正交关系的推广

设 $\mathbb{B}(\mathcal{H})$ 表示希尔伯特空间 $\big(\mathcal{H}, \langle\cdot, \cdot\rangle\big)$ 上所有有界线性算子的 $C^{\ast}$-代数。给定正算子 $A\in\B(\h)$ 和数 $\lambda\in [0,1]$，在 $\B_{A^{1/2}}(\h)$（即 $\B(\h)$ 中具有 $A^{1/2}$-伴随的所有算子的集合）上定义半范数 ${\|\cdot\|}_{(A,\lambda)}$。该半范数是半双线性形式 ${\langle \cdot, \cdot\rangle}_A$ 及其诱导的半范数 ${\|\cdot\|}_A$ 的组合。给出了关于所讨论半范数的算子 Birkhoff–James 正交性的一个刻画。沿区间 $[0,1]$ 移动 $\lambda$，得到广泛的半范数谱，起点为 $A$-数值半径 $w_A(\cdot)$（对应 $\lambda=0$），终点为 $A$-算子半范数 ${\|\cdot\|}_A$（对应 $\lambda=1$）。此外，若 $A=I$ 为恒等算子，则得到经典算子范数和数值半径。因此，本文的结果是该领域已知结果的显著推广与泛化。