关于全谱正规算子可拓扑性的研究

本文深入分析了全谱正规闭算子在 Hilbert 空间中所具有的各种谱特性，超越有界性的限制。在此类别中，包含闭合对称算子。首先，我们证明了此类算子谱的非空，并以谱特征表征闭范围算子。基于这些发现，我们进一步证明了 Weyl 定理，表明对于密集定义的闭合全谱正规算子 $T$，其谱 $\sigma(T)$ 与 Weyl 谱 $\sigma_w(T)$ 的差等于所有孤立特征值且数为有限的集合，记作 $\pi_{00}(T)$。在最后一节中，我们证明了对应于 $T$ 的任意非零孤立谱值 $\mu$ 的 Riesz 投影 $E_{\mu}$ 是自伴的。此外，我们展示了该 Riesz 投影满足关系 $\mathrm{ran}(E_{\mu}) = \n(T-\mu I) = \n(T-\mu I)^*$。此外，我们证明了如果 $T$ 是一个闭合全谱正规算子，其 Weyl 谱 $\sigma_w(T) = {0}$，则 $T$ 符合为紧致自伴算子。