反线性 skew-self-adjoint 算子上的 Weyl-von Neumann 定理

本文证明了反线性 skew-self-adjoint 算子上的 Weyl-von Neumann 定理。具体而言，我们证明如下：设 $A$ 是作用于可分离希尔伯特空间 $H$ 上的反线性 skew-self-adjoint 算子，其核要么是偶维的，要么是无限维的。设 $1<p<\infty$。则对于每一个 $\epsilon>0$，存在一个反线性 skew block 对角算子 $D$ 和一个反线性 Schatten $p$ 类算子 $K$，使得 $A=K+D$，且 $\|K\|_{p}<\epsilon$。由此，我们证明了复杂 skew-symmetric 算子上的 Weyl-von Neumann 定理：设 $\tau$ 是 $H$ 上的一个共轭仍作为 $\tau$，设 $T$ 是一个 $\tau$-skew-symmetric 有界线性算子，且 $\dim N(T)=\infty$ 或 $\dim N(T)$ 为偶数。设 $1<p<\infty$。则对于每一个 $\epsilon>0$，存在一个 $\tau$-skew-symmetric Schatten $p$ 类算子 $K$，一个 skew-symmetric block 对角算子 $D$，以及一个酉算子 $U$，使得 $T=K+UDU^{tr}$，且 $\|K\|_{p}<\epsilon$，其中 $U^{tr}$ 是关于满足 $\tau(e_n)=e_n$ 的正交归一基 $\{e_n:n\in \mathbb N\}$ 的转置。 Furthermore, the above result holds even without any assumption on the dimension of $N(T)$, provided that $N(T)=N(T^*)$.