通过加性扰动的自伴扩张

设 $A$ 是 Hilbert 空间 \H 上的自伴算子，$\N$ 是关于 $A$ 的算子域 $D(A)$ 上的图范数封闭且稠密的线性集，令 $A_\N$ 为 $A$ 在 $\N$ 上限制所得的对称算子。我们证明 $A_\N$ 的任一满足 $D(A_\Theta)\cap D(A)=\N$ 的自伴扩张 $A_\Theta$ 均可加性分解为和式 $A_\Theta=\A+T_\Theta$，其中算子 $\A$ 与 $T_\Theta$ 都取值于 $D(A)$ 的强对偶。算子 $\A$ 是 $A$ 到整个 \H 的闭扩张，而 $T_\Theta$ 可显式地用依赖于 $\N$ 与扩张参数 $\Theta$ 的（抽象）边界条件写出，$\Theta$ 是作用于某个与 $A_\N$ 的亏空间（作为集合）同构的辅助 Hilbert 空间上的自伴算子。文中给出了其与 Kre\u\u n 预解式公式及 von Neumann 自伴扩张理论的显式联系。