换位子之和的谱刻画 I

设 $\Cal J$ 是可分无限维 Hilbert 空间 $\Cal H$ 上紧算子的一个双边拟 Banach 理想。我们证明,算子 $T\in\Cal J$ 可表示为换位子 $[A,B]$ 的有限线性组合(其中 $A\in\Cal J$ 且 $B\in\Cal B(\Cal H)$)当且仅当其特征值 $(\lambda_n)$(按绝对值递减排列,依代数重数重复,必要时补零)满足如下条件:对角算子 $\diag\{\frac1n(\lambda_1+\cdots +\lambda_n)\}$ 属于 $\Cal J$。这回答了(对拟 Banach 理想而言)Dykema、Figiel、Weiss 和 Wodzicki 提出的一个问题。