关于可缩算子巴拿赫代数的注记

对于巴拿赫代数 $A$，若 $A\otimes^\gamma A$ 中的元素 $M$ 满足对每个 $a\in A$ 有 $(a\otimes 1)M=M(1\otimes a)$，则称其为超交换子。巴拿赫代数的对角是一个超交换子，且其在对角映射下的像为 $1$。众所周知，巴拿赫代数可缩当且仅当它有一个对角。本注记的主要目的是证明：对于无限维巴拿赫空间 $X$ 上任意包含有限秩算子理想的、有界线性算子的巴拿赫子代数 $A\subseteq\mathcal{L}(X)$，任何 $A$ 的超交换子在典范代数态射 $\mathcal{L}(X)\otimes^\gamma\mathcal{L}(X)\to\mathcal{L}(X\otimes^\gamma X)$ 下的像均消失。