实 Banach 自伴紧算子空间中的斜厄米算子

设 $\mathcal H$ 为复无限维可分 Hilbert 空间，设 $\mathcal K(\mathcal H)$ 为 $\mathcal H$ 中紧线性算子的 $C^*$-代数。设 $(E,\|\cdot\|_E)$ 为对称序列空间。若 $\{\mu(n,x)\}$ 为 $x\in\mathcal K(\mathcal H)$ 的奇异值，令 $\mathcal C_E=\{x\in\mathcal K(\mathcal H): \{\mu(n,x)\}\in E\}$ 且 $\|x\|_{\mathcal C_E}=\|\{\mu(n,x)\}\|_E$，$x\in\mathcal C_E$，为 $E$ 生成的紧算子 Banach 理想。令 $\mathcal C_E^h=\{x\in\mathcal C_E : x=x^*\}$ 为 $(\mathcal C_E, \|\cdot\|_{\mathcal C_E})$ 中自伴算子的实 Banach 子空间。我们证明在 $\mathcal C_E$ 为可分或完美 Banach 对称理想且 $\mathcal C_E \neq \mathcal C_{l_2}$ 的情形下，对任意斜厄米算子 $H\colon\mathcal C_E^h \to \mathcal C_E^h$，存在 $\mathcal H$ 中的自伴有界线性算子 $a$ 使得对所有 $x\in\mathcal C_E^h$ 有 $H(x)=i(xa - ax)$。