Banach 紧算子理想中的遍历定理

设 $\mathcal H$ 为无限维 Hilbert 空间，设 $\mathcal B(\mathcal H)$（$\mathcal K(\mathcal H)$）为 $\mathcal H$ 中有界（相应地，紧）线性算子的 $C^*$-代数。设 $(E,\|\cdot\|_E)$ 为完全对称序列空间。若 $\{s_n(x)\}_{n=1}^\infty$ 为 $x\in\mathcal K(\mathcal H)$ 的奇异值，令 $\mathcal C_E=\{x\in\mathcal K(\mathcal H): \{s_n(x)\}\in E\}$ 并赋予 $\|x\|_{\mathcal C_E}=\|\{s_n(x)\}\|_E$，$x\in\mathcal C_E$，为由 $E$ 生成的紧算子 Banach 理想。我们证明对任意正 Dunford-Schwartz 算子 $T$ 与 $x\in\mathcal C_E$，平均 $A_n(T)(x)=\frac1{n+1}\sum\limits_{k = 0}^n T^k(x)$ 在 $\mathcal C_E$ 中一致收敛。此外，若 $x\in\mathcal B(\mathcal H)\setminus\mathcal K(\mathcal H)$，则存在 Dunford-Schwartz 算子 $T$ 使得序列 $\{A_n(T)(x)\}$ 不一致收敛。我们还证明平均 $A_n(T)$ 在 $(\mathcal C_E,\|\cdot\|_{\mathcal C_E})$ 中强收敛当且仅当 $E$ 可分且 $E\neq l^1$（作为集合）。