遍历定理中对称空间的几乎一致收敛与强收敛

设 $(\Omega,\mu)$ 为一个 $\sigma$-有限测度空间，并设 $X\subset L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ 为 $(\Omega,\mu)$ 上可测函数的完全对称空间。若 $\mu(\Omega)=\infty$，则给出了对所有 Dunford-Schwartz 算子 $T\in L^1(\Omega)+ L^\infty(\Omega)$ 及任意 $f\in X$，Cesàro 平均 $M_n(T)(f)=\frac1n\sum_{k = 0}^{n-1}T^k(f)$ 在 $X$ 中（依 Egorov 意义）几乎一致收敛的充要条件。此外，证明了平均 $M_n(T)$ 对每个 Dunford-Schwartz 算子 $T\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ 在 $X$ 中强收敛，当且仅当 $X$ 具有序连续范数且 $L^1(\Omega)$ 不包含于 $X$ 中。