关于 $L^1+L^\infty$ 上 Dunford-Schwartz 逐点遍历定理的反例

推广 Chilin 和 Litvinov 的一个结果，我们通过构造证明：给定任意 $\sigma$-有限无限测度空间 $(\Omega,\mathcal{A}, \mu)$ 及函数 $f\in L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$，若对某个 $\varepsilon>0$ 有 $\mu(\{|f|>\varepsilon\})=\infty$，则存在 $(\Omega,\mathcal{A}, \mu)$ 上的 Dunford-Schwartz 算子 $T$，使得 $\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N (T^nf)(x)$ 对几乎每个 $x\in\Omega$ 均不收敛。此外，对我们构造的每个算子，逐点收敛几乎处处失败的函数集在 $L^1(\Omega)+L^\infty(\Omega)$ 中是剩余的。