$L^r(\mu)$和$H^r(\mathbb T)$中的平均遍历定理，$0<r<1$

设$T$是概率空间$(X,\Sigma,\mu)$上保测变换$\theta$的Koopman算子。我们研究当$f \in L^r(\mu)$, $0<r<1$时平均值$M_nf:=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}T^kf$的收敛性质。我们证明如果$\int |M_nf|^r d\mu \to 0$，则$f \in \overline{(I-T)L^r}$，并表明当$\theta$是遍历非周期时逆命题不成立。当$\theta$是可逆遍历非周期时，我们证明对于$0<r<1$存在$f_r \in (I-T)L^r$使得$M_nf_r$几乎处处不收敛（尽管$\int |M_nf|^r d\mu \to 0$）。我们进一步证明对于$1 \leq p <\frac{1}{r}$，存在一个稠密$G_\delta$子集${\mathcal F}\subset L^p(X,\mu)$使得对于任何$h \in {\mathcal F}$有$\limsup_n \frac{|T^nh|}{n^r}=\infty$ a.e.。