若干交换变换的多变量多项式遍历平均的收敛性

设 $(X,\mathcal{B},\mu)$ 为一个概率空间，$T_1,..., T_l$ 为 $X$ 上 $l$ 个交换的可逆保测变换。我们证明，若对每个 $(c_1,...,c_l)\neq (0,...,0)$，$T_1^{c_1} ... T_l^{c_l}$ 是遍历的，则对于所有多项式 $p_{ij}\colon \mathbb{Z}^d\to\mathbb{Z}$、所有 $f_i\in L^{\infty}(\mu)$ 以及 $\mathbb{Z}^d$ 中的所有 Følner 序列 $\{\Phi_N\}_{N=1}^{\infty}$，平均值 $\frac{1}{|\Phi_N|}\sum_{u\in\Phi_N}\prod_{i=1}^r T_1^{p_{i1}(u)}... T_l^{p_{il}(u)}f_i$ 在 $L^2(\mu)$ 中收敛。