带 M"obius 权重的遍历平均的逐点收敛性

设 $(X,\nu,T)$ 为一个保测系统，$P_1,\ldots, P_k$ 为整系数多项式。我们证明，对于任意 $f_1,\ldots, f_k\in L^{\infty}(X)$，M"obius 加权多项式多重遍历平均 \begin{align*}\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}\mu(n)f_1(T^{P_1(n)}x)\cdots f_k(T^{P_k(n)}x) \end{align*} 几乎处处逐点收敛于 $0$。特例取 $P_1(y)=y, P_2(y)=2y$ 时，解决了 Frantzikinakis 提出的一个问题。我们还证明了涉及不同次数多项式的多重遍历平均在更一般的乘法权重类下的逐点收敛性。为了证明这些结果，我们建立了一些关于多项式构型的定量广义 von Neumann 定理，这些定理本身具有独立意义。