多项式遍历平均快速收敛：Bourgain 定理的变体

设 $L^2(X,\Sigma,\mu,\tau)$ 为一个保测系统，其中 $\tau$ 为 $\mathbb{Z}$-作用。在本注记中，我们证明了沿整值多项式 $P(n)$ 的遍历平均 $$M_N(f):= \frac{1}{N}\sum_{n \leq N} \tau^{P(n)} f$$ 对于 $f \in L^2(X)$ 逐点收敛。我们的证明方法是：对于 $r>2$，证明 $r$-变差 $\mathcal{V}^r(M_N(f))$ 可扩展为 $L^2$ 上的有界算子。我们还证明了我们的结果是尖锐的，即 $\mathcal{V}^2(M_N(f))$ 是 $L^2$ 上的无界算子。